Probabilidad

PROBABILIDAD

La probabilidad es el cálculo matemático que evalúa las posibilidades que existen de que una cosa suceda cuando interviene el azar

Conceptos básicos 

Con ellos vamos a dar una serie de conceptos para poder desarrollar este tema y los sucesivos. 

Fenómeno determinístico. Cuando al repetirlo bajo idénticas condiciones iniciales se obtienen siempre los mismos resultados. 

Fenómeno aleatorio. Cuando al repetirlo bajo idénticas condiciones iniciales no se obtienen siempre los mismos resultados. Ejemplo: cuando lanzamos una moneda al aire observando la sucesión de caras y cruces que presentan. 

Experimento aleatorio. Operación que repetimos bajo idénticas condiciones iniciales y no se obtienen siempre los mismos resultados. Ejemplo: lanzamiento de un dado observando la sucesión de números que se presentan {1, 2, 3, 4, 5,6}. 

Suceso elemental. Cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio; luego un suceso elemental consta de un solo elemento del espacio muestral (E). En el ejemplo del dado: {1}. Suceso A= (2, 3,4) Suceso elem B= 1 ental 2 3 4 1 

Espacio muestral. Conjunto de todos los sucesos elementales del experimento aleatorio y lo designaremos como (E). Ejemplo del dado: {1,2,3,4,5,6} 

Suceso. Conjunto formado por uno o más sucesos elementales, es decir, un subconjunto de resultados elementales del experimento aleatorio. Ejemplo del dado: nos interesa saber si el resultado a sido un número impar A={1, 3,5}. 

Suceso seguro. Coincide con el suceso elemental, ya que al realizar el experimento aleatorio se obtendrá con seguridad uno de los posibles resultados o sucesos elementales, y por tanto ocurrirá (E). 

Dos sucesos se dice que son iguales, cuando todo suceso elemental de uno está en el otro, y viceversa. 

Suceso imposible. Es el que no tiene ningún elemento del espacio muestral (E), y por tanto no ocurrirá nunca, y se representa como ∅. Ejemplo: En el lanzamiento del dado no puede darse el 7. Introducción al cálculo de probabilidades 5 

Suceso complementario a un suceso A: Es el suceso que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A. Se acostumbra a denotar con el símbolo Ā. 

Sucesos incompatibles: Los sucesos A y B son incompatibles o mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente. 

A = {a, b}, B = {d, e} 

Espacio muestral

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio y se suele representar como E (o bien como omega, Ω, del alfabeto griego).

Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda, ¿cuáles son todos los posibles resultados que podemos obtener? Que salga cara o cruz

E = {cara, cruz}

Y si lanzamos un dado, tenemos en total 6 posibles resultados que pueden salir. Por lo tanto el espacio muestral sería de 6 elementos.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso

Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral. 

Por ejemplo, “sacar cara” en el lanzamiento de una moneda, “sacar el número 5” o “sacar un número primo” en el lanzamiento de un dado son sucesos.

Cuando todos los sucesos elementales tienen las misma probabilidad de ocurrir, la probabilidad de un suceso cualquiera A se define como el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Esta es la Ley de Laplace.

En el ejemplo de lanzar una moneda, los sucesos elementales serían: “Sacar una cruz” o “Sacar una cara”. Si la moneda no esta trucada, la probabilidad de que ocurra cada suceso elemental es la misma. Por lo tanto, la probabilidad de que salga cruz es 1/2.

Volviendo a nuestro ejercicio: En una bolsa hay 10 bolas numeradas del 11 al 20, algunas rojas y otras verdes.

a) Sacamos sin mirar una bola, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número primo?

Empezamos calculando el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Número de casos favorables = número de primos = 4 son los números primos dentro de los resultados posibles (Los números 11, 13, 17 y 19 son primos)

Número de casos posibles = 10 (Todos los números del 11 al 20)

La probabilidad de sacar un número primo entre las 10 bolas, es de 4/10 que  simplificado es 2/5.

Solución: P (número primo)=2/5

b) ¿Cuántas bolas hay de cada color?

Nos dice que la probabilidad de que salga verde es 3/5.

El número de casos posibles, es decir, el número de bolas que pueden salir, sigue siendo 10.

El número de casos favorables, es decir, el número de bolas de color verde (nuestro suceso) es una de las cosas que queremos calcular.

Sabemos que 3/5 es equivalente a 6/10. Por lo tanto, si aplicamos la Ley de Laplace:

En total hay 6 bolas verdes en la bolsa. Así que podemos deducir que el resto, 4, son bolas rojas.

Solución: Hay 6 bolas verdes y 4 bolas rojas